Una funzione è una macchina da calcolo che dato un valore in ingresso restituisce un valore in uscita. Un macchina che dato un valore in ingresso ne restituisce ad esempio due, non è una funzione.
Uno pensa che un esempio di macchina che non sia una funzione sia una cosa davvero complessa, invece la radice quadrata di 4 restituisce sia 2 che -2 e quindi NON è una funzione.
Una funzione continua è una funzione il cui grafico può essere disegnato senza mai staccare la penna dal foglio.
Problema: abbiamo definito la funzione, poi abbiamo definito la funzione continua dando per scontato il concetto di grafico. Ma il concetto di grafico non è così scontato.
Facciamo finta di sapere cosa sia un grafico, oppure accettiamo per buona la definizione di segno su un supporto; ma giusto per fare finta, perché se il grafico di una funzione va ad infinito, siccome infinito non è un luogo, non sappiamo dove fare il segno.
Ma tanto per: OK, una funzione continua è quella il cui grafico non ha interruzioni.
Come si scrive in termini matematici il fatto che una funzione sia continua?
Beh, nello stesso modo:
f(x) è continua nel punto x0 se dato un qualunque ε > 0 possiamo determinare un δ > 0 tale che per tutti gli x per cui |x–x0|< δ si ha |f(x)-f(x0)| < ε(1).
Non sembra che sia la stessa cosa eppure è proprio così.
Quello che dice l’espressione qui sopra è che se f(x) è continua nel punto x0, se la distanza tra un generico punto x e il punto x0 si mantiene sotto un certo valore δ, allora la distanza tra il grafico del punto f(x0) e quella del generico punto f(x) si mantiene sotto un certo valore ε.
In altri termini se la distanza tra x e x0 è piccola a piacere anche la distanza tra f(x) e f(x0) si mantiene piccola a piacere.
Cioè che non ci sono salti nel grafico intorno al punto f(x0) del grafico.
Ora, basta dimostrare che vale per tutti i valori in ingresso per la macchina f(x).
Questi però potrebbero essere infiniti.
Pallosissimo.
Il vantaggio di cose che vanno ad infinito in matematica, è che spesso basta trovare il comportamento comune a queste cose e invece di inseguirle le si rende prevedibili qualunque cosa facciano, ovunque siano.
Invece di cercare tutti gli x per cui f(x) è continua, notiamo che sappiamo che “dato un ε qualunque (“qualunque”?! Uhm…) possiamo trovare δ…”.
Ah. Possiamo trovare delta.
Ad esempio: consideriamo la funzione f(x) = 3x – 2. Supponiamo |x – x0| < δ, allora
|f(x) – f(x0)| = |3x – 2 – 3x0 + 2| = 3|x – x0|
Ora, siccome abbiamo supposto |x – x0| < δ, sarà 3|x – x0| < 3δ.
Siccome abbiamo detto che ε può essere un positivo qualunque, possiamo immaginare che sia più grande di 3δ, no?!
Quindi
3δ < ε ovvero δ < ε/3.
Se quindi δ dev'essere minore di ε/3, facciamo che
δ = ε/4(2).
In questo modo, dato ε, per tutti gli x tali che |x – x0| < δ, preso δ = ε/4 si ha
|f(x) – f(x0)|< 3ε/4 < ε
E con questo abbiamo dimostrato che quella funzione è continua in tutti gli infiniti punti del suo grafico, perché è continua in x0; ma x0 è un suo punto qualunque.
Bello, no?
Qualche riga di calcolo e abbiamo dimostrato una proprietà che vale per un’infinità di punti.
Voi direte: ma come bello, ma che ce ne frega a noi del fatto che questa funzione è continua.
Ah, ma a noi di lei non ce ne frega nulla. A noi ci frega del nostro tempo.
È questo che molti che incontrano la matematica non capiscono: conoscerla significa non solo essere pigri, ma esserlo in maniera inattaccabile.
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Quanto sopra è una traduzione non letterale di Latest news from Plus magazine – http://plus.maths.org/ del 23 agosto 2011.
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- Non solo, ma nell’espressione in termini matematici qui sopra, non è nemmeno necessario definire né conoscere il concetto di grafico, basta quello di funzione. Il che dimostra pure che il linguaggio della matematica è molto ma molto potente, per non dire paraculo.
- Notiamo che ε > 0, δ > 0 per ipotesi
